BILANGAN PANGKAT, AKAR, dan LOGARITMA

BILANGAN PANGKAT, AKAR, dan LOGARITMA

A. Bilangan Pangkat

Tahukah Anda, berapa jarak antara matahari dan bumi? Ternyata jarak antara matahari dan bumi adalah 150.000.000 km. Penulisan jarak antara matahari dan bumi dapat ditulis dengan bilangan pangkat. Bagaimana caranya? Pangkat bilangan bulat dapat berupa bilangan bulat positif, nol, atau negatif.

 

1. Pangkat Bulat Positif

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca “a pangkat n“) adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

 

 

 

 

Dengan  : a = bilangan pokok (basis);

n = pangkat atau eksponen;

an = bilangan berpangkat.

 

Contoh Soal

Tentukan nilai dari pemangkatan berikut :

 

 

Dengan menggunakan konsep bilangan pangkat penulisan jarak antara matahari dan bumi, yaitu 150.000.000 km dapat ditulis dengan cara yang lebih ringkas, yang dikenal sebagai notasi ilmiah, yaitu 1,5 × 108 km.

 

 

b. Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan

Ø  Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

 

Untuk a R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:

 

 

 

 

 

 

 

Ø  Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

 

Untuk a R, a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.

 

 

 

 

 

 

Ø  Sifat Pangkat dari Bilangan Berpangkat

 

Untuk a R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:

 

 

 

 

 

 

 

Ø  Sifat Pangkat dari Perkalian Bilangan

 

Untuk a, b R dan n bilangan bulat positif, berlaku:

 

 

 

Ø  Sifat Pangkat dari Pembagian Bilangan

 

Untuk a, b R, b ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:

 

 

 

 

 

Contoh soal

Sederhanakanlah bentuk pemangkatan berikut   :

 

2. Pangkat Bulat Negatif dan Nol

a.   Bilangan Berpangkat Nol

Untuk a R dan a ≠ 0 maka

 

 

 

 

 

 

Contoh soal

Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut   :

 

b.   Bilangan Berpangkat Negatif

 

Untuk a R dan a ≠ 0 didefinisikan  :

 

 

 

 

 

 

Contoh soal

1. Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat negatif.

 

 

 

 

 

2. Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat positif.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B. Bentuk Akar

1. Konsep Bilangan Irasional

Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan dengan a , b ∈B dan b ≠ 0. Sedangkan bilangan rasional adalah blangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan dengan a , b, ∈B dan b ≠ 0.

 

 

 

 

 

 

 

Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.

2. Bentuk Akar

Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu lambang bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk:

 

 

 

 

 

 

 

 

Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:

 

1. Akar Senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.

Contoh:

 

 

2. Akar sejenis

Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.

Contoh:

 

 

Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu, yaitu sebagai berikut:

Untuk a, b bilangan riil dengan n bilangan asli yang sesuai berlaku:

 

 

 

Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing-masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentuk akar sejenis maka yang dijumlahkan atau dikurangkannya adalah koefisien dari masing-masing bentuk akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut.

Contoh soal

1.      Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakanlah bentuk akar berikut.

 

 

 

 

3. Pangkat tak sebenarnya

Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya.Untuk sebarang nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan n ≥ 2 berlaku:

 

 

 

 

 

4. Sifat-sifat operasi Pangkat tak sebenarnya

Untuk a, b R dengan a, b ≠ 0, serta p, q bilangan rasional maka berlaku sifat-sifat operasi pangkat tak sebenarnya sebagai berikut.

 

 

 

 

 

Operasi pada bilangan bentuk pangkat tak sebenarnya menjelaskan bahwa pada dasarnya operasi yang berlaku sama dengan operasi pada bilangan bentuk pangkat sebenarnya. Perlu diperhatikan di sini bahwa pangkat yang dipakai adalah pangkat bilangan nol, bilangan bulat negatif, dan bilangan pecahan.

C. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

 

 

 

 

 

 

1. Pecahan Bentuk

 

 

 

 

2. Pecahan Bentuk

 

 

 

 

 

 

 

3. Pecahan Bentuk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Menyederhanakan Bentuk Akar

 

 

 

 

 

 

 

D. Logaritma

Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:

24 = 16 ⇔ 2log 16 = 4

 

Secara umum:

Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:

 

alog x = n x = an

 

 

 

 

Contoh soal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Sifat – sifat Logaritma

Ø  Sifat 1

 

 

 

 

 

 

Ø  Sifat 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ø  Sifat 3


 

Ø  Sifat 4

 

Ø  Sifat 5


Ø  Sifat 6

Ø  Sifat 7

Ø  Sifat 8

Ø  Sifat 9

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: